중학 수학 원뿔의 부피와 원뿔 넓이 왜 1/3을 곱하는 지는 고등학교때 알게 된다

중학교에서 원뿔의 부피를 구하는 법을 가르쳐주긴 합니다

앞서 원기둥의 부피를 구하는 공식에 곱하기 1/3을 하게 됩니다 혹은 3으로 나누게 되는것이지요. 

그러니까 원기둥의 부피를 구할때는 밑면 곱하기 높이 이고 여기에 1/3을 곱하는 것이고

밑면은 원이니까 반지름 r의 제곱 곱하기 높이니까 πr² x h x 1/3 인것이죠. 

그런데 다들 물어봅니다. 왜 1/3을 곱하냐.  같은 말 왜 3으로 나누냐.. 이건 사실 중학교 과정에선 물에 담궜더니 그렇게 나온다 같은 식으로 설명을 하고 고등학교에 들어가서 적분을 배워야 할 수 있는 문제입니다.  

그러니까 밑면이 원인 원기둥 물 수조가 있고 여기에 물을 채우고 같은 면적의 원뿔을 그 안에 넣으면 물이 넘치겠죠? 그 넘친 물의 양이 원래 원기둥 부피의 2/3 이라는 거에요. 과학 실험으로. 웃기죠? 근데 사실 그래요. 그러니까 수조에 남아있는 원뿔의 부피는 원래 원기둥 부피의 1/3이 되는 거라고 설명을 할 수 밖에 없어요. 또르르.....

마찬가지로 원뿔의 넓이도 좀 어른들이 중학생들에게 나빠요.. 원뿔의 전개도를 그리면 부채꼴과 그 아래 밑면 원이 나옵니다.

 

그러면 결국 넓이는 부채꼴 부분하고 원 부분의 넓이를 구해서 더하면 되요. 이건 중학교 1학년 과정의 끝에 부채꼴의 넓이를 배웁니다. 이때 부채꼴의 넓이를 원래 각도를 알아야 계산을 할 수 있는거죠.  각도를 아는 경우 부채꼴의 넓이는 

πr² x 각도/360 이죠.  이렇게 하면 부채꼴의 넓이가 나오는걸 중1 마지막에 가르쳐줘요. 그런데 원뿔의 전개도를 펼쳐서 넓이를 구하는 문제에서 각도를 알려주는 경우가 별로 없어요. 왜냐하면 그 아래 원밑면이 있으니 그걸 이용하라는 거에요. 그러면 부채꼴의 호 부분이 그 아래 원의 밑면이 되니 호의 길이는 알고 높이는 부채꼴의 반지름이 되니까  결국  1/2 x 호의 길이 x 부채꼴의 반지름 (아래 원의 반지름이 아니에요) 해서 원뿔 옆면의 넓이를 구하게 되는거죠.  그리고 여기에 아래 밑면의 원의 넓이를 구하면 되요. 

정리 원뿔의 겉넓이 

밑면 원의 넓이 + 부채꼴의 넓이(반지름이 a이고 호의 길이를 모른다고 하면). 니까

πr²  + 1/2 x a x.호의 길이 , 그런데 호의 길이는 결국 아래 밑면 원의 둘레죠. 

그러니까    πr²  + 1/2 x a x 2 πr 이에요. 

2가 나눠지니까 πr²  + aπr

좀 복잡하죠 ? 이렇게 이해하면 된답니다.