원의 둘레와 반지름, 지름, π 파이

원과 원주율 π 는 희한한 수이다.   π  는 3.141692..... 무한소수로 알려져있다.

그럼 이 3.141592...... 를 만드는 자연수의 나눗셈은 뭐가 있을까? 중학교에서 선생님이 이 파이를 만들어내는, 그러니까 원의 개념에서 지름과 둘레의 비율 원주율을 알려주려고 π 를 만들어내는 문제를 낸다고 해보자. 뭐랑 뭐랑 나누면 3.141592가 나올까?

흔히 생각해보자 12나누기 4하면 3이나오니까...  13나누기 4하면...ㅎㅎㅎ 3.25다.  16나누기 5하면 3.2 다.. ㅎㅎㅎ 이런식으로 두 수를 나누어서 무한소수 3.141592.......가 나오는 자연수를 만들 수 있을까?

정답은 없다.  3.141692...... 로 나누어떨어지지 않기 때문에 무한소수를 만드는 자연수를 정확히 만들 수 없다.

그나마 비슷한 수를 만들수는 있겠다.

 

• 22/7 ≈ 3.14285714285714 (오차: 0.0015%)
• 333/106 ≈ 3.14150943396227 (오차: 0.00034%)
• 103993/33102 ≈ 3.14159265358979 (오차: 0.0000000026% )

와 같이 말이다. 하지만 그 어떤것도 실제 π 를 표현할 수 없다. 그래서 초등수학에서는 선생님들이 3 정도가 나오게 하고 그 다음에는 3.14. 정도가 나오게 하고.. 중학교 이후에는 그냥 π로 퉁치고 ㅎㅎㅎㅎ 마는 것이다. 

잠깐 더 생각을 해보자 우리가 컴파스로 반지름을 5cm 벌려서 원을 빙그레 돌려 그렸다고 생각해보자. 그럼 이 원의 둘레는 원래 구하는 공식으로 말하면 지름 곱하기 파이 인데... 종이에 그린 원의 둘레를 잘라서 직선으로 펼치면.... 유한한 길이가 나온다고 생각되지 않을까?  하지만 정확히 측정할 수 있는 자가 않아서 그렇지 이 둘레의 길이는 무한한 수가 된다.

그럼 다시 긴 줄을 동그랗게 만들어서 그 원의 반지름(지름을) 재면 유한한 지름이나 반지름이 나오지 않나? 라고 생각할 수 있겠지만 역시 완벽한 원이 아니거나 지름을 정확히 잴 수 있지 않다. 왜냐하면 원주율 파이는 무한소수이기 때문이다.

그러니까 결국 우리가 보고 있는 원의 둘레를 정확히 유리수 숫자로 표현하는 것은 불가능하거나 아니면 원을 정확히 그리는것이 불가능한 것인지도 모른다.

수학이란 시험만 아니면 이렇게 생각할 거리가 많은 재미가 있다.

예를 들어 무한대 라는 것을 생각해 보자. 무한대의 숫자 + 1 = 무한대 일 것이다. 그런데 등식의 성질 상 양쪽에서 같은 값을 빼면 등식이 그대로 존재하니까  양쪽에서 무한대를 빼면 결국 1=0이 되늰.... 재미있는 (?) 결과가 만들어진다.